二次型正定的一个充要条件是「存在可逆矩阵M,使A=M^TM」.为什么?

飘渺眼花 1年前 已收到1个回答 举报
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分叉的小JJ 幼苗

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A=M^TM是什么东西?
A是正定矩阵当且仅当存在可逆矩阵M使得A=M^(-1)TM,其中T是对角矩阵,且对角线元素都是正数

1年前 追问

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飘渺眼花 举报

M^T 是M的转置矩阵的意思

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接着上面的回答了 右推左 对任意的x x'M^TMx=(Mx)'(Mx)大于等于0，等号当且仅当Mx=0即x=0时成立 左推右 由于A正定，存在可逆矩阵K是的A=K^T*C*K，其中C是对角矩阵，对角线上的元素都大于0 让C1也为对角矩阵，并且对角线上的对应元素是C对应位置的1/2次 让M=C1*K,那么A=K^T*C*K=K^T*C1*C1*K=M^T*M

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接着上面的回答了 右推左 对任意的x x'M^TMx=(Mx)'(Mx)大于等于0，等号当且仅当Mx=0即x=0时成立 左推右 由于A正定，存在可逆矩阵K是的A=K^T*C*K，其中C是对角矩阵，对角线上的元素都大于0 让C1也为对角矩阵，并且对角线上的对应元素是C对应位置的1/2次 让M=C1*K,那么A=K^T*C*K=K^T*C1*C1*K=M^T*M
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