已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0），动点P满足： AP • BP =k| PC | 2 ，

（1）设P（x，y），

AP =(x，y-1)，

BP =(x，y+1) ，

PC =(1-x，-y) ．
当k=1时，由

AP •

BP =k|

PC | ² ，得x ² +y ² -1=（1-x） ² +y ² ，
整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；
当k≠1时，由

AP •

BP =k|

PC | ² ，得x ² +y ² -1=k（1-x） ² +ky ² ，
整理得： (x+
k
1-k ) 2 + y 2 = (
1
1-k ) 2 ，表示以点 (-
k
1-k ，0) 为圆心，以
1
|1-k| 为半径的圆．
（2）当k=2时，方程化为（x-2） ² +y ² =1，即x ² +y ² =4x-3，
∵2

AP +

BP =(3x，3y-1) ，
∴ |2

AP +

BP |=
9 x 2 +9 y 2 -6y+1 ，又x ² +y ² =4x-3，
∴ |2

AP +

BP |=
36x-6y-26 =
6(6x-y)-26 ．
问题归结为求6x-y的最值，令t=6x-y，
∵点P在圆（x-2） ² +y ² =1，圆心到直线t=6x-y的距离不大于圆的半径，
∴
|12-t|

37 ≤1 ，解得12-
37 ≤t≤12+
37 ．
∴
37 -3≤|2

AP +

BP |≤12+
37 ．