证明：若函数f（x）在x=0上连续,在(0,&)内可导,且当x趋向于0+时,lim f ' (x)=A.则f+'(x)存

证明：若函数f（x）在x=0上连续,在(0,&)内可导,且当x趋向于0+时,lim f ' (x)=A.则f+'(x)存在且等于A.
hytsj 1年前 已收到2个回答 举报
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呜咽游民 幼苗

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说明极限lim(x→0+) (f(x)-f(0))/x＝A即可.由拉格朗日中值定理,f(x)-f(0)＝f'(ξ)x,ξ介于0与x之间,且随着x在变.所以x→0+时,ξ→0+.
所以,lim(x→0+) (f(x)-f(0))/x＝lim(x→0+) f'(ξ)＝lim(ξ→0+) f'(ξ)＝A,所以f+'(0)存在且等于A

1年前

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水天碧蓝 幼苗

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lim[f(1-h)-f(1+h)]/(e^h-1)=lim[f(1-h)-f(1)+f(1)-f(1+h)]/h=-lim[f(1-h)-f(1)]/(-h)-lim[f(1+h)-f(1)]/h=
-2f'(1)= 2,f'(1)= -1.
这里用到了当h趋向于0时lim（(e^h-1）/h=1.进行等价无穷小代换。

1年前

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