已知函数 f ( x )=log a ( x +1)( a >1),若函数 y = g ( x )的图象上任意一点
已知函数 f ( x )=log a ( x +1)( a >1),若函数 y = g ( x )的图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f ( x )的图象. (1)写出函数 g ( x )的解析式; (2)当 x ∈[0,1)时总有 f ( x )+ g ( x )≥ m 成立,求 m 的取值范围.
(1)设 P ( x , y )为 g ( x )图象上任意一点,则 Q (- x ,- y )是点 P 关于原点的对称点,因为 Q (- x ,- y )在 f ( x )的图象上,所以- y =log a (- x +1), 即 y =-log a (1- x )( x <1). (2) f ( x )+ g ( x )≥ m , 即log a ≥ m . 设 F ( x )=log a , x ∈[0,1). 由题意知,只要 F ( x )min≥ m 即可. 因为 F ( x )在[0,1)上是增函数,所以 F ( x )min= F (0)=0. 故 m 的取值范围是(-∞,0].