如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从

解题思路：（1）由图②易求出点Q的坐标及点Q的速度，就可得到点P的速度．
（2）由点A、B的坐标可求出正方形的边长，易证△APM∽△ABF，从而得到AM=3t，PM=4t，从而有PN=OM=10-3t，ON=PM=4t，由于OQ=1+t，因此△OPQ的面积可用t的代数式表示，然后利用二次函数的最值性就可求出△OPQ的面积最大时点P的坐标．
（3）由OP=PQ，PN⊥OQ得ON=NQ=[1/2]OQ，即x_P=[1/2]x_Q．然后分四种情况进行讨论（点P分别在AB、BC、CD、DA上），利用相似三角形的性质将点P的横坐标用t的代数式表示出来，然后根据x_P=[1/2]x_Q建立方程，就可求出t的值．

（1）由图②可知：
当t=0时，x=1，此时点Q的坐标为（1，0）；V_Q=[9−1/8]=1（单位长度/秒）
∵点P的运动速度是点Q的5倍，
∴点P运动速度为每秒钟5个单位长度．

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，如图①，
则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB＝
82+62＝10．
过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，如图①，
∴PM∥BF．
∴△APM∽△ABF．
∴[AP/AB＝
AM
AF＝
MP
BF]．
∴[5t/10＝
AM
6＝
MP
8]．
∴AM=3t，PM=4t．
∴PN=OM=10-3t，ON=PM=4t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
则S＝
1
2(10−3t)(1+t)＝−
3
2t2+
7
2t+5（0≤t≤2）．
∵a＝−
3
2＜0，
∴当t＝−

7
2
2×(−
3
2)＝
7
6时，△OPQ的面积S最大．
此时PM=4×[7/6]=[14/3]，OM=10-3×[7/6]=[13/2]，
则P的坐标为（[14/3]，[13/2]）．

（3）∵OP=PQ，PN⊥OQ，
∴ON=NQ=[1/2]OQ．
∴x_P=[1/2]x_Q．
①当点P在AB上时，此时0≤t≤2，如图①，
4t=[1/2]（1+t）．
解得：t=[1/7]．
∵0≤[1/7]≤2，
∴t=[1/7]符合要求．
②当点P在BC上时，此时2＜t≤4．
过点P作PK⊥BF交于K，如图③，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABF=90°-∠PBK=∠BPK．
∵∠AFB=∠PKB=90°，
∴△AFB∽△BKP．
∴[AB/BP]=[AF/BK]．
∴[10/5t−10]=[6/BK]．
∴BK=3t-6．
∴x_P=8+3t-6=3t+2．
∴3t+2=[1/2]（1+t）．
解得：t=-[3/5]
∵-[3/5]＜2，
∴t=-[3/5]不符合要求，故舍去．
③当点P在DC上时，此时4＜t≤6．
过点C作CH⊥BF交于H，过点P作PS⊥CH交于点S，如图④，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵∠AFB=∠BHC=90°，
∴∠ABF=90°-∠CBH=∠BCH．
在△AFB和△BHC中，


∠AFB＝∠BHC
∠ABF＝∠BCH
AB＝BC．
∴△AFB≌△BHC．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
同理可得：PS=4t-16．（与②中求BK的方法相同）
∴x_P=8+6-（4t-16）=30-4t．
∴30-4t=[1/2]（1+t）．
解得：t=[59/9]．
∵[59/9]＞6，
∴t=[59/9]不符合要求，故舍去．
④当点P在AD上时，此时6＜t≤8．
过点P作PT⊥AF交于T，如图⑤，
同理可得：PT=24-3t．（与②中求BK的方法相同）
∴x_P=24-3t．
∴24-3t=[1/2]（1+t）．
解得：t=[47/7]．
∵6≤[47/7]≤8，
∴t=[47/7]符合要求．
综上所述：当t＝
1
7或t＝
47
7时，OP与PQ相等．

点评：
本题考点： 相似形综合题；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，有一定的难度．而分情况讨论时可能会出现因没有考虑t的取值范围而出现多解的错误，需给予重视．