Would you mind if I didn't come out with you this evening.

一、没有去掉OUT,这句问话的意思是：
Would you mind if I didn't COME OUT WITH YOU this evening.
如果今晚我不和你一起出来,你会介意吗?
（这里是个虚拟语态.其实,问这话的人,已经和那个人一起 出去了 ）
一、去掉OUT以后,这句问话的意思就变成：
Would you mind if I didn't COME WITH YOU this evening.
如果今晚我不和你一起来,你会介意吗?
（这里也是个虚拟语态.其实,问这话的人,已经和那个人一起 来到了 他们要去的地方.）

come out with you
译为：跟你一起外出
come with you
译为：跟你一起来
如果要用后者的话
come后面应该加上一个宾语，如“come here with you”会更加正确

out是副词，不影响句子完整性，但是意思变了

肯定存在区别啦，原句意为：我今天晚上不跟你出去你会介意吗？
去掉之后就没有可以随便是什么不一定是出去了。一字之差谬以千里