求证:2^(n+2)*3^n+5n+21能被25整除

qyxlove 1年前 已收到3个回答 举报
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看星的猪猪 幼苗

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数学归纳
当n=1时 2^（n+2）*3^n+5n-4=25,能被25整除
当n=k时 假定2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除
n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4
=6*[2^（k+2）*3^k+5k-4]-25k+25,
其中2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除,-25k+25能被25整除,
所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述,2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除

1年前

4

梵乐仙主 幼苗

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[2^(n+2)]×(3^n)+5n+21 ={[2^(n+2)]×(3^n)+21}+5n ={4×2^n)×(3^n)+21}＋5n =4(6^n-1)＋5n +25
二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数，排列组合你应该学过吧，那对...

1年前

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AXJLMG 幼苗

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用 a≡b (mod 25) 表示 a、b 被25除的余数相同（也就是 a-b 能被25整除）。
2^(n+2)*3^n+5n+21
=4*2^n*3^n+5n+25-4
=4*(6^n-1)+5n+25
=4*[(5+1)^n-1]+5n+25
由二项式定理，
上式=4*[∑(k=0，n) C(n,k)*5^n-1]+5n+25
≡4*(5n+1-1)+5n
≡25n
≡0(mod 25)，
命题得证。

1年前

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