（2014•江西二模）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．

解题思路：（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有

an+1＝2Sn+1 an＝2Sn−1+1

，化简得a_n+1=3a_n （n≥2），要使n≥1时{a_n}是等比数列，只需

a2

a1

＝

2t+1

t

＝3，从而得出t的值．
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，故有 an＝3n−1，从而得到bn＝nan＝n•3n−1，用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n ．
（3）由条件求得cn＝1−

4

bn

，计算可得c₁c₂=-1＜0，再由c_n+1-c_n＞0可得，数列{c_n}递增，由c2＝

1

3

＞0，得当n≥2时，c_n＞0，由此求得数列{c_n}的“积异号数”为1．

（1）由题意可得，当n≥2时，有

an+1＝2Sn+1
an＝2Sn−1+1，（1分）
两式相减，得 a_n+1 -a_n =2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{a_n}是等比数列，要使n≥1时{a_n}是等比数列，
则只需
a2
a1＝
2t+1
t＝3，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{a_n}的首项为a₁=1，公比q=3，∴an＝3n−1．（5分）
∴bn＝nan＝n•3n−1，（6分）
∴Tn＝1×30+2×31+3×32+…+(n−1)•3n−2+n•3n−1，①（7分）
上式两边乘以3得3Tn＝1×31+2×32+3×33+…+(n−1)•3n−1+n•3n②，（8分）
①-②得−2Tn＝30+31+32+…+3n−1−n•3n，（9分）
∴Tn＝
2n−1
4•3n+
1
4．（10分）
（3）由（2）知bn＝n•3n−1，∵cn＝1−
4
bn，
∵c1＝1−
4
1＝−3，c2＝1−
4

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与函数的综合，属于难题．