一道关于偏导及可微的证明题,急!在线等,好的加分!
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证明f(x,y)=xy/sqrt(x^2+y^2),x^2+y^2≠0；0,x^2+y^2=0在点(0,0)处两个偏导数都存在,但此函数在点(0,0)不可微.
没有人吗？？
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没有人吗？？
赞 紫色骑兵 幼苗
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根据定义来做
f偏x（0,0）
=lim[x->0] [f（x,0）-f（0,0）]/x =0
同理f偏y （0,0） =0.
根据判断可微的充要条件：
lim [x->0,y->0]｛f（x.+x,y.+y）-f（x.,y.）-(df（x.,y.）/dx) dx-(df（x.,y.）/dy) dy｝/sqrt（x^2+y^2）存在即可.
然而
在（0,0）点处,原函数
lim [x->0,y->0] [f（x,y）-0-0-0]/sqrt（x^2+y^2）=xy/(x^2+y^2) (*)
根据齐次性去x=ky,这个极限=k/（1+k^2）是与k的取值有关的.也就是极限(*)不存在.
f偏x（0,0）
=lim[x->0] [f（x,0）-f（0,0）]/x =0
同理f偏y （0,0） =0.
根据判断可微的充要条件：
lim [x->0,y->0]｛f（x.+x,y.+y）-f（x.,y.）-(df（x.,y.）/dx) dx-(df（x.,y.）/dy) dy｝/sqrt（x^2+y^2）存在即可.
然而
在（0,0）点处,原函数
lim [x->0,y->0] [f（x,y）-0-0-0]/sqrt（x^2+y^2）=xy/(x^2+y^2) (*)
根据齐次性去x=ky,这个极限=k/（1+k^2）是与k的取值有关的.也就是极限(*)不存在.
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