已知抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．

已知抛物线y² =2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．
（1）求抛物线方程；
（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准线的距离．

crowyan 1年前已收到1个回答举报

web2008 幼苗

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（1）抛物线 y 2 =2px的准线为x=-
p
2 ，于是4+
p
2 =5 ，
∴p=2．
∴抛物线方程为y² =4x．…（4分）
（2）∵点F的坐标是（1，0），
所以AB的方程为y=x-1，…（6分）
由

y=x-1
y 2 =4x 消y得x² -6x+1=0…（8分）
设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），
则x₁ +x₂ =6，
所以C点的横坐标为x_C =3…（10分）
所以AB的中点C到抛物线准线的距离为x_C +1=4．…（12分）

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