圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr2（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某
圆与椭圆有很多类似的性质，如圆的面积为πr2（r为圆的半径），椭圆的面积为πab（a，b分别为椭圆的长、短半轴的长）．某同学研究了下面几个问题：
（1）圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2，类似地，请给出椭圆
+
=1（a＞b＞0）上一点（x0，y0）处的切线方程（不必证明）；
（2）如图1，TA，TB为圆x2+y2=r2的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=r2．如图2，TA，TB为椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，请给出椭圆中的类似结论并证明．
（3）若过椭圆
+
=1（a＞b＞0）上外一点M（s，t）作两条直线与椭圆切于A，B两点，且AB恰好过椭圆的左焦点，求证：点M在一条定直线上．
（1）圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）处的切线方程为x0x+y0y=r2，类似地，请给出椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（2）如图1，TA，TB为圆x2+y2=r2的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=r2．如图2，TA，TB为椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（3）若过椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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解题思路：（1）椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上一点（x0，y0）处的切线方程为x0xa2+y0yb2＝1．（2）TA，TB为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的切线，A，B为切点，OT与AB交于点P，则OP•OT=a2．设A（x0，y0），则直线AT的方程为x0xa2+y0yb2＝1．令y=0，得点T的坐标为(a2x0，0)，由此能证明OP•OT=a2．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则点A处的切线方程为x1xa2+y1yb2＝1，点B处的切线方程为x2xa2+y2yb2＝1，由此求出直线AB的方程，由直线AB过椭圆的左焦点，能证明点M在椭圆的左准线上．
（1）椭圆
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)上一点（x0，y0）处的切线方程为
x0x
a2+
y0y
b2＝1…（2分）
（2）如图2，TA，TB为椭圆
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)的切线，A，B为切点，
OT与AB交于点P，则OP•OT=a2…（4分）
证明：设A（x0，y0），则直线AT的方程为
x0x
a2+
y0y
b2＝1．
令y=0，得x＝
a2
x0，∴点T的坐标为(
a2
x0，0)…（6分）
又点P的坐标为（x0，0），∴OP•OT＝|
a2
x0|•|x0|＝a2…（8分）
（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则点A处的切线方程为
x1x
a2+
y1y
b2＝1，点B处的切线方程为
x2x
a2+
y2y
b2＝1…（10分）
将点M（s，t）代入，得
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
1年前
6
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