(2001•湖州)如图,已知ABCD是圆的内接四边形,对角线AC和BD相交于E,BC=CD=4,AE=6,如果线段BE和

(2001•湖州)如图,已知ABCD是圆的内接四边形,对角线AC和BD相交于E,BC=CD=4,AE=6,如果线段BE和DE的长都是整数,则BD的长等于______.
兴化老道 1年前 已收到1个回答 举报

家在豫东南 春芽

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解题思路:已知了BC=CD,可得出弧BC=弧CD,根据圆周角定理可得出∠BAC=∠CBD;易证得△CBE∽△CAB,根据所得的关于AC、CE、BC的比例关系式可求出EC的长;
根据相交弦定理得AE•EC=BE•ED,又已知BE、DE的长是整数,可求出BE、DE的取值情况;然后在△BCD中,根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去.

∵BC=CD=4,


BC=

CD;
∴∠CBE=∠CDB=∠CAB;
又∵∠BCE=∠ACB,
∴△CBE∽△CAB,得[BC/AC=
EC
BC],即[4/6+EC]=[EC/4];
化简得:EC2+6EC-16=0,解得:EC=2(负值舍去).
由相交弦定理,得:BE•ED=AE•EC,
∴BE•ED=2×6=12;
则BE和DE可取的值分别为3,4;2,6;1,12;
又因为BC=CD=4,所以BD<BC+CD=4+4=8.
故为BD=3+4=7.

点评:
本题考点: 圆周角定理;相交弦定理;相似三角形的判定与性质.

考点点评: 此题是一道开放题,先根据相似三角形的性质和相交弦定理估算出BE、ED,再根据三角形两边之和大于第三边将不合题意的解舍去,综合性较强,难度较大.

1年前

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