设u=[1/2][φ(x+at)+φ(x-at)]+[1/2a]∫x+atx−atψ(ζ)dζ,其中φ和ψ分别具有一、二

设u=[1/2][φ(x+at)+φ(x-at)]+[1/2a]
x+at
x−at
ψ(ζ)dζ,其中φ和ψ分别具有一、二阶连续偏导数,证明
2u
t2
a2
2u
x2
=0.
石头帮1 1年前 已收到1个回答 举报

来碗菜饭 春芽

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解题思路:首先,由u的表达式求出u对t和x的偏导数;然后,求出二阶偏导数,代入到
2u
t2
a2
2u
x2
证明即可.

证明:由u=[1/2][φ(x+at)+φ(x-at)]+[1/2a]
∫x+atx−atψ(ζ)dζ,对t和对x求偏导得
[∂u/∂t]=[a/2[φ′(x+at)−φ′(x−at)]+
1
2[ψ′(x+at)+ψ′(x−at)]

∂u
∂x]=[1/2[φ′(x+at)+φ′(x−at)]+
1
2a[ψ′(x+at)−ψ′(x−at)]

∂2u
∂t2]=
a2
2[φ″(x+at)−φ″(x−at)]+
a
2[ψ′′(x+at)+ψ′′(x−at)]

∂2u
∂x2=[1/2[φ″(x+at)+φ″(x−at)]+
1
2a[ψ′′(x+at)−ψ′′(x−at)]

∂2u
∂t2−a2
∂2u
∂x2]=0
得证.

点评:
本题考点: 多元函数偏导数的求法.

考点点评: 此题考查二元函数的偏导数的求法和变限积分函数的求导法则,是基础知识点的综合.

1年前

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