请阅读下面材料：若A（x 1 ，y 0 ），B（x 2 ，y 0 ）是抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0

请阅读下面材料：
若A（x₁ ，y₀ ），B（x₂ ，y₀ ）是抛物线y=ax² +bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线 x=

x 1 + x 2

为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x₁ ，y₀ ），B（x₂ ，y₀ ）是抛物线y=ax² +bx+c（a≠0）上不同的两点
∴

y 0 =a

+b x 1 +c①

y 0 =a

+b x 2 +c②

且 x₁ ≠x₂ ．
①-②得 a（x₁ ² -x₂ ² ）+b（x₁ -x₂ ）=0．
∴（x₁ -x₂ ）[a（x₁ +x₂ ）+b]=0．
∴ x 1 + x 2 =-

又∵抛物线y=ax² +bx+c（a≠0）的对称轴为 x=-

，
∴直线 x=

x 1 + x 2

为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x₁ ，y₁ ），N（x₂ ，y₂ ）是抛物线y=ax² +bx+c（a≠0）上不同的两点，直线 x=

x 1 + x 2

为该抛物线的对称轴，那么自变量取x₁ ，x₂ 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x² +bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

zz249906609 1年前已收到1个回答举报

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（1）结论：自变量取x₁ ，x₂ 时函数值相等．
证明：∵M（x₁ ，y₁ ），N（x₂ ，y₂ ）为抛物线y=ax² +bx+c上不同的两点，
由题意得

y 1 =a x 1 2 +b x 1 +c①
y 2 =a x 2 2 +b x 2 +c② 且x₁ ≠x₂
①-②，得y₁ -y₂ =a（x₁ ² -x₂ ² ）+b（x₁ -x₂ ）=（x₁ -x₂ ）[a（x₁ +x₂ ）+b]．
∵直线 x=
x 1 + x 2
2 是抛物线y=ax² +bx+c（a≠0）的对称轴，
∴ x=
x 1 + x 2
2 =-
b
2a ．
∴ x 1 + x 2 =-
b
a ．
∴y₁ -y₂ =（x₁ -x₂ ）[a（x₁ +x₂ ）+b]=0，即y₁ =y₂ ；

（2）∵二次函数y=x² +bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，
∴由阅读材料可知二次函数y=x² +bx-1的对称轴为直线 x=
2011
2 ．
∴ -
b
2 =
2011
2 ，b=-2011．
∴二次函数的解析式为y=x² -2011x-1．
∵
2011
2 =
2012+(-1)
2 ，
由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．
∵当x=-1时的函数值为（-1）² -2011×（-1）-1=2011，
∴当x=2012时的函数值为2011．

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