求级数∞n＝1nxn-1的收敛域及和函数，并求级数∞n＝1n2n的和．

∵
lim
n→∞|
an+1
an|＝
lim
n→∞
n+1
n＝1，得到收敛半径为R=1．
当x=1，级数成为
∞

n＝1n，一般项不趋于0，因此它发散．
同理，当x=-1级数也发散．
所以收敛域为（-1，1）．
令和函数为s（x）=
∞

n＝1nxn−1，两边由0到x积分，得
∫x0s(x)dx=
∞

n＝1 xn=[x/1−x]，
两边对x求导，即得s(x)＝
1
(1−x)2，x∈(−1，1)．
取x＝
1
2，则有
∞

n＝1n(
1
2)n−1＝
1
(1−
1
2)2＝4．
所以，
∞

n＝1n(
1
2)n＝
1
2•4＝2．

点评：
本题考点： 数项级数求和；求幂级数的收敛半径和收敛域；幂函数在收敛区间内和函数的求法．

考点点评： 本题主要考查数项级数求和以及幂函数的收敛半径和收敛域，幂级数在收敛区间内和函数的求法，平时需多练习和总结，本题属于基础题