高数多元分段函数在分界点出的连续性问题
高数多元分段函数在分界点出的连续性问题
（x,y）≠（0,0）；当（x,y）=（0,0）时,f(x,y)=0,求函数在原点处的连续性.为什么要令y=x³,然后让x→0来求函数的极限?这种情形可以让y取得x的某个函数?这是什么数学思想?
（x,y）≠（0,0）；当（x,y）=（0,0）时,f(x,y)=0,求函数在原点处的连续性.为什么要令y=x³,然后让x→0来求函数的极限?这种情形可以让y取得x的某个函数?这是什么数学思想? 
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若f(x,y)在原点有极限,则(x,y)沿任何方式趋于原点(0,0)时,f(x,y)都有同样的极限值.
注意上面是以任何方式.因此经常用这个结论的逆否命题来证明f(x,y)在(0,0)没有极限.
就是：找两个(x,y)趋于原点的方式,使得f(x,y)在此两种方式下收敛到的极限值不同,
这就能说明f(x,y)在原点没有极限.
与之类似,只要能找到一种方式,使得f(x,y)在此种方式下的极限值与函数值不同,
就能说明f(x,y)在原点不连续.观察函数表达式可以知道,
取y=x^3时,函数极限是1/2,不等于函数值f(0,0)=0,因此函数不连续.
注意上面是以任何方式.因此经常用这个结论的逆否命题来证明f(x,y)在(0,0)没有极限.
就是：找两个(x,y)趋于原点的方式,使得f(x,y)在此两种方式下收敛到的极限值不同,
这就能说明f(x,y)在原点没有极限.
与之类似,只要能找到一种方式,使得f(x,y)在此种方式下的极限值与函数值不同,
就能说明f(x,y)在原点不连续.观察函数表达式可以知道,
取y=x^3时,函数极限是1/2,不等于函数值f(0,0)=0,因此函数不连续.
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