已知F(12,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点,点M与点N关于x轴对称

已知F(
1
2
,0)
为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点N(x0,y0)(y0>0)为其上一点,点M与点N关于x轴对称,直线l与抛物线交于异于M,N的A,B两点,且|NF|=
5
2
kNAkNB=−2

(I)求抛物线方程和N点坐标;
(II)判断直线l中,是否存在使得△MAB面积最小的直线l',若存在,求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值;若不存在,说明理由.
laoliucanguan 1年前 已收到1个回答 举报

天蚂性空 春芽

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解题思路:(Ⅰ)由题意知:p=1,x0=2,y02=4,y0>0,得y0=2,由此能求出抛物线方程和N点坐标.(Ⅱ)由题意知直线的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+b(t∈R),联立方程y2=2xx=ty+b得y2-2ty-2b=0,设两个交点A(y212y1,),B(y222,y2),由kPA•kPB=y1−2y212−2−y2−2y222−2=4(y1+2)(y2+2)=−2,得b=2t+3,由此能求出当t=-2时S有最小值为2,此时直线l'的方程为x+2y+1=0.

(Ⅰ)由题意[p/2=
1
2],
∴p=1,
所以抛物线方程为y2=2x.
|NF|=x0+
p
2=
5
2,
x0=2,y02=4,
∵y0>0,
∴y0=2,
∴N(2,2).(4分)
(Ⅱ)由题意知直线的斜率不为0,
设直线l的方程为x=ty+b(t∈R)
联立方程

y2=2x
x=ty+b得y2-2ty-2b=0,
设两个交点A(

y21
2y1,),B(

y22
2,y2)(y1≠±2,y2≠±2)


△=4t2 +8b>0
y1+y2=2t
y1y2=−2b,…(6分)
kPA•kPB=
y1−2


y21
2−2−
y2−2


y22
2−2=
4
(y1+2)(y2+2)=−2,
整理得b=2t+3…(8分)
此时△=4(t2+4t+6)>0恒成立,
由此直线l的方程可化为x-3=t(y+2),
从而直线l过定点E(3,-2)…(9分)
因为M(2,-2),
所以M、E所在直线平行x轴
三角形MAB面积S=
1
2|ME||y1−y2|=
t2+4t+6=
(t+2 )2+2,…(11分)
所以当t=-2时S有最小值为
2,
此时直线l'的方程为x+2y+1=0…(12分)

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质.

考点点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

1年前

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